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Uso da função de transferência em problemas de condução do calor com a lei de Fourier modificada

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Uso da função de transferência em problemas de condução do calor com a lei de Fourier modificada
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  MINIST´ERIO DA EDUCAC¸ ˜AOUNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SULPROGRAMA DE P´OS-GRADUAC¸ ˜AO EM ENGENHARIA MECˆANICA USO DA FUNC¸ ˜AO DE TRANSFERˆENCIA EM PROBLEMASDE CONDUC¸ ˜AO DO CALOR COM A LEI DE  FOURIER MODIFICADA por Leonardo Dagnino Chiwiacowsky Disserta¸c˜ao para obten¸c˜ao do T´ıtulo de Mestre em EngenhariaPorto Alegre, janeiro de 2002  USO DA FUNC¸ ˜AO DE TRANSFERˆENCIA EM PROBLEMASDE CONDUC¸ ˜AO DO CALOR COM A LEI DE  FOURIER MODIFICADA porLeonardo Dagnino ChiwiacowskyBacharel em Matem´aticaDisserta¸c˜ao submetida ao Corpo Docente do Programa de P´os-Gradua¸c˜ao em Engenharia Mecˆanica, PROMEC, da Escola de Engenharia da Universidade Fe-deral do Rio Grande do Sul, como parte dos requisitos necess´arios para a obten¸c˜ao do T´ıtulo de Mestre em Engenharia ´Area de Concentra¸c˜ao:  Fenˆomenos de Transporte Orientador:  Prof. Dr. Julio C´esar Ruiz Claeyssen Aprovada por:Prof. Dr. Germ´an Canahualpa Suazo, DCET-URIProf. Dr. Marco Tulio Vilhena, PROMEC-UFRGSProfa. Dra. Teresa Tsukazan, PPGMAp-UFRGSProf. Dr. Alberto TamagnaCoordenador do PROMECPorto Alegre, janeiro de 2002  AGRADECIMENTOS Agrade¸co, em especial, ao Prof. J´ulio Claeyssen pelos ensinamentos,apoio, incentivo e dedica¸c˜ao durante minha forma¸c˜ao acadˆemica e desenvolvimento deste trabalho.Agrade¸co aos demais professores do PROMEC pela colabora¸c˜ao em minha forma¸c˜ao.Agrade¸co aos colegas Antˆonio, Antˆonio Fl´avio, Cristiana, Demartini, Inˆes, Mary, Pedro Borges, Rosemaira e Sandra pela alegria, amizade e incentivosempre presentes.Agrade¸co ao professor e amigo Germ´an pelas dicas e discuss˜oes salutares para o desenvolvimento de qualquer trabalho cient´ıfico.Agrade¸co aos meus pais, Sylvia e Pedro, pelos ensinamentos de vidae confian¸ca depositados. Tamb´em a minha irm˜a, Patricia, pelo companheirismo,incentivo e apoio.Agrade¸co `a Alessandra, t˜ao especial na minha vida, pela paciˆencia, compreens˜ao e apoio indispens´aveis na etapa final deste trabalho.Agrade¸co ao PROMEC pela oportunidade e disponibiliza¸c˜ao dos recur- sos, materiais e humanos, necess´arios para a realiza¸c˜ao deste trabalho. i  RESUMO Este trabalho visa o uso da fun¸c˜ao de transferˆencia, a qual relacionadistribui¸c˜ao de temperatura e fluxo de calor, na compara¸c˜ao no dom´ınio freq¨uˆencia, entre o modelo de difus˜ao usual (parab´olico) e um modelo ondulat´orio (hiperb´olico) que inclue o efeito de propaga¸c˜ao do calor n˜ao instantˆaneo, sendo avaliados os casos de meio semi-infinito e finito.Para o caso de meio semi-infinito, s˜ao determinadas as express˜oes paraas caracter´ısticas de amplitude e de fase, considerando tanto a abordagem parab´olicaquanto hiperb´olica. ´E observada a rela¸c˜ao entre estas duas abordagens, mostrandoque a abordagem parab´olica ´e uma caso particular da abordagem hiperb´olica, po-dendo ser obtida atrav´es de um processo de limite envolvendo o tempo de relaxa¸c˜ao τ  .Para o caso de meio finito, s˜ao determinadas as express˜oes para as carac-ter´ısticas de amplitude de ambas as faces da placa unidimensional, considerando tan-to a abordagem parab´olica quanto hiperb´olica. Estas express˜oes s˜ao transformadas para a forma adimensional quando ent˜ao s˜ao deduzidas as express˜oes correspon- dentes das caracter´ısticas de amplitude. Mais uma vez, todos os resultados para ocaso parab´olico podem ser determinados a partir dos resultados do caso hiperb´olico,atrav´es de um processo de limite envolvendo o tempo de relaxa¸c˜ao  τ  .S˜ao apresentados resultados num´ericos referentes `as caracter´ısticas deamplitude, onde ´e apontada a existˆencia de uma freq¨uˆencia limite, acima da qual adiferen¸ca entre os dois modelos, do tipo parab´olico ou hiperb´olico, aumenta rapida- mente. Tamb´em ´e apresentada uma forma alternativa de c´alculo da distribui¸c˜ao detemperatura transiente que faz uso da fun¸c˜ao de transferˆencia do sistema.ii  ABSTRACTTITLE:  “USE OF TRANSFER FUNCTION IN HEAT CONDUCTION PROB-LEMS WITH THE NON-FOURIER LAW”This work has as its main objective uses the transfer function which con-nect temperature distribution and heat flux, making a frequency domain comparisonbetween the usual diffusion model (parabolic) and a wave model (hyperbolic) whichincludes the effect of non-instantaneous heat propagation, considering semi-infinityand finite medium.In relation to the semi-infinity case, the amplitude and phase char-acteristics expressions are determined, considering both approaches parabolic andhyperbolic. Is pointed the relation between this two approaches, showing that theparabolic approach is a particular case of the hyperbolic, which is obtained by alimit process involving the relaxation time  τ  .In relation to the finite case, the amplitude characteristics expressions,regarding the two faces of the one dimensional slab, are determined, consideringboth approaches parabolic and hyperbolic. This expressions are changed to a non-dimensional form when is obtained the corresponding expressions of the amplitudecharacteristics. Once again, all the results regarding the parabolic approach can beobtained from the hyperbolic approach results, also by a limit process involving therelaxation time  τ  .Are presented numerical results concerning the amplitude characteris-tics, where is pointed the existence of a limit frequency as that frequency abovewhich the difference between the two models, parabolic or hyperbolic kind, increas-es rapidly. Moreover, is presented a way of computing the transient temperaturedistribution using the transfer function.iii
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