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MATEMÁTICAS BÁSICAS APLICACIONES DE LA INTEGRAL

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MATEMÁTICAS BÁSICAS APLICACIONES DE LA INTEGRAL
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  Facultad de Contaduría y Administración. UNAM  Aplicaciones de la integral Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa 1  󰁍󰁁󰁔󰁅󰁍󰃁󰁔󰁉󰁃󰁁󰁓 󰁂󰃁󰁓󰁉󰁃󰁁󰁓  󰁁󰁐󰁌󰁉󰁃󰁁󰁃󰁉󰁏󰁎󰁅󰁓 󰁄󰁅 󰁌󰁁 󰁉󰁎󰁔󰁅󰁇󰁒󰁁󰁌 Existen muchos campos del conocimiento en que existen aplicaciones de la integral. Por la naturaleza de este concepto, puede aplicarse tanto en Geometría, en Física, en Economía e incluso en Biología. Por sólo citar algunos ejemplos, a continuación se mencionan las aplicaciones más conocidas de la integral: 1. Hallar el área de regiones planas  . 2. Obtener los volúmenes de sólidos de revolución  . 3. Calcular volúmenes de sólidos   con secciones conocidas. 4. Determinar la longitud de arco de una curva  . 5. Examinar el comportamiento aleatorio   de variables continuas (función de densidad probabilidad). 6. Conocer el valor promedio de una función  . 7. Hallar momentos   (fuerzas que ejercen ciertas masa con respecto a un punto) y centros de masa   o centroide   (el punto en que un objeto se equilibra horizontalmente). 8. Encontrar la presión ejercida por un fluido  . 9. Calcular el trabajo realizado   de mover un objeto de un punto a otro. 10. Obtener velocidades y aceleraciones   de móviles. 11. Conocer el superávit del consumidor   (cantidad de dinero ahorrado por los consumidores, al comprar un artículo a un precio dado). 12. Determinar el flujo sanguíneo   (volumen de sangre que pasa por una sección transversal por unidad de tiempo) de una persona y su gasto cardiaco   (volumen de sangre bombeado por el corazón por unidad de tiempo. A continuación se profundiza en las primeras dos aplicaciones enlistadas. CÁLCULO DE ÁREAS PLANAS Para calcular un área plana, se efectúa la siguiente metodología: 1. Se trazan las curvas que limitan el área que se desea conocer. 2. Se identifican los puntos en los que se cortan las curvas. 3. Se determina la zona de la que hay que calcular el área. 4. Se decide que variable conviene integrar 5. Se procede a integrar bajo los límites encontrados. Ejemplos. Hallar el área limitada por las siguientes condiciones: 1) Curva 2  x y  = , el eje  x  y por las rectas 1 =  x  y 3 =  x  Solución:  Facultad de Contaduría y Administración. UNAM  Aplicaciones de la integral Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa 2 xy1234168412Área   2313312 66.8326313273 u xdx x A  ≈=−=== ∫  2) El eje  y , la curva 2 28  y y x  −+=  y por las rectas 1 −=  y  y 3 =  y  Solución: xy123441-13Área567829   ( )  ( )       ++−−−+=      −+=−+= −− ∫  31189924 3828 3132312  y y ydy y y A 2 66.3039232024  u ≈=      −−=  3) Curva 67 2 +−=  x x y , el eje y por las rectas 2 =  x  y 6 =  x  Solución:  Facultad de Contaduría y Administración. UNAM  Aplicaciones de la integral Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa 3 xy24-2-4Área62-64  Por situarse debajo del eje de integración ( )  x , debe afectarse todo por un signo negativo. ( )  ( ) ( )      +−−      +−−=      +−−=+−−= ∫  12427383636273216627367 6223622  x x xdx x x A   ( ) ( )  2 66.1835632181214383612672  u ≈=      −−−=      +−−+−−=   4) Curva  x x x y  86  23 +−=  y el eje  x  Solución: xy24-2Área2  La curva corta al eje  x  en 2,0  y 4   ( ) ( ) ∫∫  +−−+−=∴ 42232023 8686  dx x x xdx x x x A    Facultad de Contaduría y Administración. UNAM  Aplicaciones de la integral Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa 4 ( ) ( ) [ ]  ( ) ( ) [ ] 16164641286401616442 4424 4223420234 +−−+−−−+−=      +−−      +−=  x x x x x x 2 844  u =+=   5) Hallar el área comprendida entre la parábola  x y  4 2 =  y la recta 42  −=  x y  Solución: xy123441-13Área5672-2-3-4  Despejando  x  de la ecuación de la recta: 24 +=  y x  y sustituyendo en la ecuación de la parábola: ( )  8242 244 2 +=+=       +=  y y y y   082 2 =−−  y y , resolviendo la ecuación: ( )( )  4,2042 21  =−= ⇒ =−+  y y y y   4244,1242 21  =+==+−=∴  x x   ( ) ( ) 4,4,2,1 21  P  P   −∴  Área pedida = Área bajo la recta - Área bajo la parábola: 4234224224242242  1224422424 −−−−−      −      +=−      +=−+= ∫∫∫∫  y y ydy ydy ydy ydy y A ( ) ( ) [ ]  ( ) [ ]  2 9615127231212812644184  u =−=  −−−=      −−−−−+=  6) Hallar el área comprendida entre las parábolas 2 6  x x y  −=  y  x x y  2 2 −=  Solución: Igualando las ecuaciones para obtener los puntos de intersección: 08208226  2222 =− ⇒ =+− ⇒ −=−  x x x x x x x x  factorizando: ( )  ⇒ =−  082  x x  0 1  =  x   ⇒ =−  082  x  428 2  ==  x    Facultad de Contaduría y Administración. UNAM  Aplicaciones de la integral Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa 5 ( )  000006  21  =−=−=  y   ( )  81624446  22  =−=−=  y   ∴  los puntos de intersección son: ( ) ( ) 8,4,0,0 21  P  P   Área pedida = Área bajo la parábola 1 - Área bajo la parábola 2: xy242(0,0)Área66848P (4,8)y = x 2 -2xy = 6x -x 2 ( ) ( ) 40234032402402 33326      −−      −=−−−= ∫∫  x x x xdx x xdx x x A ( ) ( ) ( )  2 66.2136416364364480016 36400364163  u ≈=+−−=  −−      −−  −−      −=   VOLÚMENES SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN Si una función se gira con respecto a un eje del plano se genera un volumen conocido como sólido de revolución   y al eje se le llama eje de revolución  . Gráficamente, esto es:   x aaaabbbb yx aaaabbbb yGiray = f(x)FunciónSólido de revolución  
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